Définition

START
Théorème
Définition d'un module
Hypothèses:

• soit \(\mathcal A\) un anneau
• soit \(M\) un groupe abélien
• \(M\) est muni d'un produit externe \(\times:\begin{align}\mathcal A\times M&\longrightarrow M\\ (a,m)&\longmapsto a.m\end{align}\) tel que :
    
• \(1.m=m\)
    
• \((a+b).m=a.m+b.m\)
    
• \(a.(m+m^\prime)=a.m+a.m^\prime\)
    
• \(a.b.m=a.(b.m)\)

Résultats:

• on dit que \(M\) est un \(\mathcal A\)-module

Equivalence?: y
Résumé: Un module est un groupe abélien muni d'un produit externe qui vérifie les mêmes axiomes que celui des espaces vectoriels.
END
(Espace vectoriel)

Propriétés

Lien avec les espaces vectoriels

Proposition :
Si \(V\) est un \({\Bbb K}[X]\)-module, alors c'est un \({\Bbb K}\)-espace vectoriel via les polynômes constants
Proposition :
Si \(V\) est un espace vectoriel, alors la loi suivante fait de \(V\) un \({\Bbb K}[X]\)-module : $$P(X)\cdot v=P(a)(v)$$ avec \(a_X(v)=X\cdot v=a(v)\)
(Espace vectoriel)
Notation :
Pour \(a\) \(\in\operatorname{End}_{\Bbb K}(V)\), on note \(V_a\) le \({\Bbb K}[X]\)-module associé

Module d'un corps

Proposition :
Si \(\mathcal A\) est un corps, alors la notion de \(\mathcal A\)-module et de \(\mathcal A\)-espace vectoriel coïncident
(Corps, Espace vectoriel)

Lien avec les endomorphismes semblables

Proposition :
Soient \(a,b\) \(\in\operatorname{End}_{\Bbb K}(V)\)
\(a\) et \(b\) sont semblables si et seulement si \(V_a\) et \(V_b\) sont \({\Bbb K}[X]\)-isomorphes
(Matrices conjuguées - Matrices semblables)

Structure d'un anneau inclus dans un autre

Structure d'un anneau inclus dans un autre :

• \(\mathcal A\subset{\mathcal B}\) sont deux anneaux

$$\Huge\iff$$

• \({\mathcal B}\) est un \(\mathcal A\)-module

Sous-module

Définition d'un sous-module :

• soit \(M\) un \(\mathcal A\)-module
• soit \(N\subset M\)
• \(N\ne\varnothing\)
• \(N\) est stable par combinaison linéaire (à coefficients dans \(\mathcal A\))

$$\Huge\iff$$

• on dit que \(N\) est un sous-module de \(M\)

Proposition :
Les sous-modules du \(\mathcal A\)-module \(\mathcal A\) sont exactement les idéaux
(Idéal)
Proposition :
Un sous-module de \({\Bbb Z}^n\) est isomorphe à \({\Bbb Z}^r\), avec \(r\leqslant n\)
On appelle \(r\) le rang

Morphisme de modules

Définition d'un morphisme de modules :

• soient \(N,M\) deux \(\mathcal A\)-modules
• soit \(f:N\to M\)
• \(\forall a\in\mathcal A,\forall m,m^\prime\in M\), $$f(am+m^\prime)=af(m)+f(m^\prime)$$

$$\Huge\iff$$

• on dit que \(f\) est un morphisme de \(\mathcal A\)-modules ou une application \(\mathcal A\)-linéaire

Familles d'éléments

Famille libre

Définition d'une famille libre d'un module :

• soit \(M\) un \(\mathcal A\)-module
• soient \(m_1,\dots,m_p\in M\)
• $$a_1m_1+\dots+a_pm_p=0\implies a_1=\dots=a_p=0$$ (avec \(a_1,\dots,a_p\in\mathcal A\))

$$\Huge\iff$$

• on dit que \((m_1,\dots,m_p)\) est une famille libre

Proposition :
$${\Bbb Z}^r\sim{\Bbb Z}^{r^\prime}\implies{{ r=r^\prime}}$$

Famille génératrice

Définition d'une famille génératrice d'un module :

• soit \(M\) un \(\mathcal A\)-module
• soient \(m_1,\dots,m_p\in M\)
• \(\forall m\in M,\exists a_1,\dots,a_p\in\mathcal A\), $$m=a_1m_1+\dots+a_pm_p$$

$$\Huge\iff$$

• on dit que \((m_1,\dots,m_p)\) est une famille génératrice

Base

Pour les modules de type fini, on a les équivalences : $$\begin{align}&{{M\text{ est un }\mathcal A\text{-module de type fini} }}\\ \iff&{{M\text{ admet une }\mathcal A\text{-base }(e_1,\dots,e_n)\text{ finie} }}\\ \iff&{{M=\mathcal A e_1\oplus\dots\oplus\mathcal A e_n}}\\ \iff&{{M\simeq A^n}}\end{align}$$

Caractérisation

Caractérisation :
\(E\) est un \(\Bbb K[X]\)-module si et seulement si...

1. \(E\) est un \(\Bbb K\)-espace vectoriel
2. On a un endomorphisme \(u:E\to E\) avec \(P\cdot v:=P(u)(v)\) (\(P\circ u\) appliqué à \(v\)) comme produit externe

(Espace vectoriel, Endomorphisme)

Lien avec la stabilité

Propriété :
Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\)
\(F\) est stable par \(u\) si et seulement si \(F\) est un sous-\({\Bbb K}[X]\)-module de \(E\)
(Stabilité d'un sous-espace par une application linéaire)

Lien avec les polynômes annulateurs

Proposition :
Si \(P\) est un polynôme annulateur de \(u\), alors \(E\) a une structure de \({\Bbb K}[X]/(P)\)-module
Les sous-modules de cette nouvelle structure sont les sous-espaces vectoriels stables par \(u\)
(Polynôme annulateur, Stabilité d'un sous-espace par une application linéaire)
Proposition :
Si \(P\) est un polynôme irréductible annulateur de \(u\) alors \({\Bbb K}[X]/P\) est un corps, et \(E\) est un espace vectoriel
(Corps, Polynôme irréductible)

Suite exacte

Proposition :
Soit \(\tilde a\) \(:V[X]\to V[X]\) définie par \(\tilde a\displaystyle\left(\sum_{i\in I}v_iX^i\right)=\sum_{i\in I}a(v_i)X^i\)
Alors la suite $${{0\longrightarrow V[X]\overset{X\operatorname{Id}-\tilde a}\longrightarrow V [X]\overset\pi\longrightarrow V_a\longrightarrow0}}$$ est une suite exacte de \({\Bbb K}[X]\)-modules

Invariants de similitude

Décomposition de Frobenius